Задание 15 профильного ЕГЭ по математике — это логарифмические, показательные и иррациональные неравенства. Многие школьники боятся этого номера, но с правильным подходом его можно решить без ошибок. Вот пошаговая методика, которая поможет систематизировать знания и получить максимальный балл за это задание.
Анализ структуры задания и типичных ошибок
Что нужно знать о задании 15:
- Требует решения неравенства с выбором подходящих промежутков
- Оценивается в 2 первичных балла (1 за решение, 1 за обоснование)
- Частые ошибки — неправильное ОДЗ, потеря знака при умножении на отрицательное число
- Типичные неравенства — логарифмические, показательные, комбинированные
Основная сложность — правильно определить область допустимых значений и не пропустить критические точки. Многие теряют баллы из-за неграмотного оформления, а не из-за ошибок в решении. Помните: правильный ответ без обоснования дает только 1 балл из 2 возможных.
Пошаговый алгоритм решения неравенств
Универсальная схема действий:
- Определите тип неравенства и запишите область допустимых значений (ОДЗ)
- Приведите неравенство к стандартному виду с помощью замен и преобразований
- Найдите критические точки, решив соответствующее уравнение
- Нанесите точки на числовую прямую и определите знаки на интервалах
- Выберите промежутки, удовлетворяющие неравенству, с учетом ОДЗ
Для логарифмических неравенств помните: если основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный. Для показательных — приводите к одному основанию или вводите замену переменной. Не забывайте проверять края интервалов, особенно если в условии стоит нестрогое неравенство.
Методы решения логарифмических неравенств
Ключевые приемы:
- Метод рационализации (замена логарифмического неравенства алгебраическим)
- Введение замены переменной для упрощения выражения
- Приведение логарифмов к одному основанию
- Использование свойств монотонности логарифмической функции
Пример: для неравенства log₂(x-1) > log₂(3-x) сначала запишите ОДЗ: x-1>0 и 3-x>0. Затем, так как основание больше 1, сравните аргументы: x-1 > 3-x. Решите полученное неравенство и пересеките с ОДЗ. Проверьте края интервала, чтобы не включить точки, где логарифм не определен.
Оформление решения на экзамене
Как получить максимальный балл:
- Четко запишите ОДЗ и обоснуйте каждое условие
- Покажите все преобразования с пояснениями
- Изобразите числовую прямую с отмеченными точками и знаками
- Выделите окончательный ответ и укажите, как он получен из решения
Не сокращайте промежуточные шаги, даже если они кажутся очевидными. Эксперт должен увидеть ваш ход мысли. Если используете метод рационализации, укажите, что основание логарифма больше или меньше 1 — это важно для обоснования. Проверьте ответ, подставив значения из найденных промежутков в исходное неравенство.
Задание 15 профильного ЕГЭ по математике требует внимания к деталям и системного подхода. Не бойтесь сложных выражений — разбейте решение на этапы и последовательно пройдите каждый из них. Практикуйтесь на задачах прошлых лет, уделяя особое внимание оформлению. Помните, что даже при ошибке в решении правильное обоснование и часть верных шагов могут принести 1 балл. Регулярные тренировки с анализом ошибок превратят задание 15 из страшного номера в надежный источник баллов. Со временем вы научитесь быстро определять тип неравенства и выбирать оптимальный метод решения, что сэкономит время на экзамене и повысит шансы на высокий результат.