Тупоугольный треугольник — это фигура с одним углом больше 90 градусов. Многие считают, что его площадь считается иначе, чем у других треугольников. На самом деле формулы одинаковы, но есть нюансы при выборе основания и высоты. Рассмотрим простые способы вычисления площади без сложных расчетов.

Стандартная формула через основание и высоту

Самый простой метод, который подходит для всех треугольников:

• Выберите сторону в качестве основания (лучше взять ту, к которой проще провести высоту)
• Проведите перпендикуляр из противоположной вершины к этой стороне
• Измерьте длину основания (a) и высоты (h)
• Примените формулу: S = (a × h) / 2

В тупоугольном треугольнике высота к стороне, прилежащей к тупому углу, будет находиться вне фигуры. Не пугайтесь — продолжите сторону за пределы треугольника и проведите перпендикуляр от вершины к этому продолжению.

Формула Герона для трех сторон

Если известны длины всех сторон:

1. Найдите полупериметр: p = (a + b + c) / 2
2. Подставьте в формулу: S = √[p(p — a)(p — b)(p — c)]
3. Вычислите подкоренное выражение
4. Найдите квадратный корень из результата

Этот метод работает для любого треугольника, включая тупоугольный. Чтобы убедиться, что треугольник тупоугольный, проверьте: квадрат самой длинной стороны должен быть больше суммы квадратов двух других сторон.

Через две стороны и угол между ними

Когда известны две стороны и угол:

• Найдите синус угла между сторонами (sin α)
• Умножьте длины сторон (a и b)
• Умножьте результат на sin α
• Разделите на 2: S = (a × b × sin α) / 2

Если угол тупой (больше 90°), его синус все равно положителен, так как sin(180° — α) = sin α. Для угла 120° sin равен √3/2, как и для 60°.

Особенности тупоугольного треугольника

При расчетах учитывайте:

1. Тупой угол всегда лежит против самой длинной стороны
2. Высота к стороне, прилежащей к тупому углу, находится вне треугольника
3. Центры описанной и вписанной окружностей расположены вне фигуры
4. Сумма остальных углов меньше 90°, так как общий сумма 180°
5. Медианы и биссектрисы строятся так же, как в остроугольном треугольнике

Эти особенности не влияют на формулы площади, но помогают правильно визуализировать задачу.

Пример решения задачи

Дано: стороны треугольника 6 см, 8 см, 12 см. Найти площадь.

• Проверяем, тупоугольный ли треугольник: 12² = 144, 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Так как 144 > 100, треугольник тупоугольный
• Находим полупериметр: p = (6 + 8 + 12)/2 = 13 см
• Применяем формулу Герона: S = √[13(13-6)(13-8)(13-12)] = √[13×7×5×1] = √455 ≈ 21,33 см²
• Проверяем через основание и высоту: S = (a × h)/2 → h = 2S/a = 42,66/12 ≈ 3,56 см

Полученные значения совпадают, что подтверждает правильность решения.

Найти площадь тупоугольного треугольника можно теми же методами, что и для других видов. Главное — правильно определить высоту, особенно когда она находится вне фигуры. Формулы через стороны, углы или стандартная с основанием работают одинаково, нужно лишь учитывать особенности построения высоты в тупоугольном треугольнике.